Riesz uzayları üzerinde zayıf istatistiksel sıra yakınsaklık

Abstract

Bu çalışma, $\sigma$-sıra sürekli dual $E_c^\sim$ tarafından karakterize edilen, Riesz uzaylarında yeni bir yakınsaklık türü olan zayıf istatistiksel sıra yakınsaklığı kuramını tanıtmakta ve geliştirmektedir. Önerilen bu yakınsaklık, vektör latislerinde istatistiksel yakınsaklık ve sıra yakınsaklığı kuramları arasında köprü kuran birleştirici bir çerçeve sunmaktadır. Çalışmada, doğrusallık, limitlerin tekliği ve pozitif koninin kapalılığı da dahil olmak üzere, bu yakınsaklığın temel latis-teorik özellikleri ortaya konulmaktadır. $L_1[0,1]$ ve $c_0$ gibi uzaylarda özenle oluşturulmuş karşı örnekler aracılığıyla, bu yakınsaklığın hem istatistiksel sıra yakınsaklığından hem de olağan sıra yakınsaklığından kesin olarak daha zayıf olduğu gösterilmektedir. Ayrıca, zayıf istatistiksel sıra Cauchy dizileri tanıtılmakta ve bunların, $\sigma$-sıra sürekli normlarla donatılmış Banach latislerinde istatistiksel norm sınırlılık ile olan ilişkisi araştırılmaktadır. Elde edilen sonuçlar, toplanabilirlik kuramı ile Riesz uzaylarının sıra yapısını birbirine bağlayan yeni bir dizisel yaklaşım sunmaktadır.

This paper introduces and develops the theory of \emph{weak statistical order convergence}, a new mode of sequential convergence in Riesz spaces characterized by the $\sigma$-order continuous dual, denoted by $E_c^\sim$. The proposed convergence provides a unifying framework that bridges the theories of statistical convergence and order convergence in vector lattices. We establish its fundamental lattice-theoretic properties, including linearity, uniqueness of limits, and the closedness of the positive cone. Through carefully constructed counterexamples in spaces such as $L_1[0,1]$ and $c_{0}$, we demonstrate that this convergence is strictly weaker than both statistical order convergence and ordinary order convergence. Furthermore, we introduce weakly statistically order Cauchy sequences and investigate their relationship with statistical norm boundedness in Banach lattices endowed with $\sigma$-order continuous norms. Our results provide a new sequential approach that connects summability theory with the order structure of Riesz spaces.